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人教A版（2019）：高三

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共166道试题

（2021•宝山区校级模拟）在数学中，双曲函数是与三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数，其中双曲正弦：sinh(x)=
ex-e-x
2
，双曲余弦函数：cosh(x)=
ex+e-x
2
，（e是自然对数的底数）．
（1）解方程：cosh（x）=2；
（2）写出双曲正弦与两角和的正弦公式类似的展开式：sinh（x+y）=_____，并证明；
（3）无穷数列{a_n}，a₁=a，an+1=2
a
2
n
-1，是否存在实数a，使得a2021=
5
4
？若存在，求出a的值，若不存在，说明理由．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.10

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（2021•浦东新区校级三模）已知无穷数列{a_n}，对于任意给定的正整数t，设不等式an-at≥t*(n-t)对任意n∈N^*恒成立时t*的取值集合为T（t）．
（1）an=n2，求集合T（2）；
（2）若{a_n}为等差数列，公差为d，求T（t）；
（3）若对任意t≥2，t∈N^*，T（t）均为相同的单元素集合，证明：数列{a_n}为等差数列．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2021春•顺义区校级期中）已知{a_n}是无穷数列，且a_n＞0，给出该数列的两个性质：
①对于{a_n}中任意两项a_i，a_j（i＜j），在{a_n}中都存在一项a_m，使得a_m=
aj2
ai
；
②对于{a_n}中任意项a_n（n≥3），在{a_n}中都存在两项a_k，a_l（k＜l），使得a_n=
al2
ak
．
（Ⅰ）判断数列{2n}和数列{2ⁿ}是否满足性质①（直接写出答案即可）；
（Ⅱ）若a_n=3×2ⁿ（n=1，2，3，⋯），判断数列{a_n}是否同时满足性质①和性质②，说明理由；
（Ⅲ）若{a_n}是递增数列，a₁=1，且同时满足性质①和性质②，证明：数列{a_n}为等比数列．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2021春•东至县校级期中）（1）用数学归纳法证明：1+2+3+⋯+（n+3）=
(n+3)(n+4)
2
(n∈N*)；
（2）已知a＞0，b＞0，且a+b＞2，求证：
1+b
a
和
1+a
b
中至少有一个小于2．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2021•普陀区模拟）如图，曲线C：xy=1（x＞0）与直线l：y=x相交于A₁，作A₁B₁⊥l交x轴于B₁，作B₁A₂∥l交曲线C于A₂，……，以此类推．
（1）写出点A₁、A₂、A₃和B₁、B₂、B₃的坐标；
（2）猜想A_n（n∈N*）的坐标，并用数学归纳法加以证明．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2020秋•碑林区校级期末）在数列{a_n}中，a1=
1
2
，an+1=
3an
an+3
．
（1）求出a₂，a₃并猜想a_n的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2020秋•丰台区期末）已知{a_n}是由正整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，最小值记为B_n，令bn=
An
Bn
．
（Ⅰ）若a_n=2n（n=1，2，3，…），写出b₁，b₂，b₃的值；
（Ⅱ）证明：b_n+1≥b_n（n=1，2，3，⋅⋅⋅）；
（Ⅲ）若{b_n}是等比数列，证明：存在正整数n₀，当n≥n₀时，a_n，a_n+1，a_n+2，…是等比数列．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.20

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（2021•银川模拟）足球运动被誉为“世界第一运动”．为推广足球运动，某学校成立了足球社团，由于报名人数较多，需对报名者进行“点球测试”来决定是否录取，规则如下：

（1）如表是某同学6次的训练数据，以这150个点球中的进球频率代表其单次点球踢进的概率．为加入足球社团，该同学进行了“点球测试”，每次点球是否踢进相互独立，将他在测试中所踢的点球次数记为ξ，求E（ξ）；

点球数 20 30 30 25 20 25

进球数 10 17 20 16 13 14

（2）社团中的甲、乙、丙三名成员将进行传球训练，从甲开始随机地将球传给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他两人中的任意一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，接到第n次传球的人即为第n+1次触球者（n∈N*），第n次触球者是甲的概率记为P_n．
（i）求P₁，P₂，P₃（直接写出结果即可）；
（ii）证明：数列{P_n-
1
3
}为等比数列．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2020春•桃城区校级期中）在庆祝新中国成立七十周年群众游行中，中国女排压轴出场，乘坐“祖国万岁”彩车亮相国庆游行，“女排精神”燃爆中国．某排球俱乐部为让广大排球爱好者体验排球的训练活动，设置了一个“投骰子50米折返跑“的互动小游戏，游戏规则：参与者先进行一次50米的折返跑，从第二次开始，参与者都需要抛掷两枚质地均匀的骰子，用点数决定接下来折返跑的次数，若抛掷两枚骰子所得的点数之和能被3整除则参与者只需进行一次折返跑，若点数之和不能被3整除，则参与者需要连续进行两次折返跑．记参与者需要做n个折返跑的概率为P_n．
（1）求P₁，P₂，P₃．
（2）证明：{P_n-P_n-1}是一个等比数列．
（3）求P_n，若预测参与者需要做折返跑的次数，你猜奇数还是偶数？试说明你的理由．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.40

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（2021春•莲都区校级月考）已知数列{a_n}的首项a₁=3，a_n+1=2a_n+1（n∈N*）．
（Ⅰ）写出数列{a_n}的前5项，并归纳猜想{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）用数学归纳法证明（Ⅰ）中所猜想的通项公式．

更新：2021/07/08 组卷：0 难度：0.30

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