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（2021•泉州二模）某公司为了解年宣传费x（单位：十万元）对年利润y（单位：十万元）的影响，统计甲，乙两个地区5个营业网点近10年的年宣传费和年利润相关数据，公司采用相关指标衡量宣传费是否产生利润效益，产生利润效益的年份用“+”号记录；反之用“-”号记录．

年份	2011	2012	2013	2014	2015	2016	2017	2018	2019	2020
甲1	+	+	-	+	+	+	+	-	+	+
甲2	+	+	+	-	+	+	-	+	+	+
甲3	+	+	-	+	+	+	+	-	+	+
乙1	+	-	-	-	+	+	-	-	+	+
乙2	+	+	-	-	+	+	-	-	-	+

（1）根据以上信息，填写下面2×2列联装，并根据列联表判断是否有95%的把握认为宣传费是否产生利润效益与地区有关：

	产生利润效益	未产生利润洞效益	总计
甲地
乙地
总计

（2）现将甲、乙两地相关数据作初步处理，得到相应散点图后，根据散点图分别选择

̂

y

=a+b

x

和

̂

y

=c+dlnx两个模型拟合甲、乙两地年宣传费与年利润的关系，经过数据处理计算，得到表格信息：

回归方程

残兹平方和

10

i=1

（y_i-

y

）²

总偏差平方和

10

i=1

（y_i-

y

）²

甲地

̂

y

=-0.28+2

x

0.032

1.021

乙地

̂

y

=1.3+1.8lnx

0.142

11.614

根据上述信息，某同学得出“因为甲地模型的残差平方和小于乙地模型的残差平方和，所以甲地的模型拟合度高于乙地”的判断，根据你所学的统计知识，分析上述判断是否正确，并给出适当的解释；
（3）该公司选择上述两个模型进行预报，若欲投入36万元的年宣传费，如何分配甲、乙两地的宣传费用，可以使两地总的年利润达到最大．
参考公式：相关指数R²=1-

n

i=1

(yi-

̂

y

)2

n

i=1

(yi-

y

)2

．
附：

P（K²≥k₀）	0.05	0.025	0.010
k₀	3.841	5.024	6.635

K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)

．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•黄州区校级三模）科教兴国，科技强国．探索浩潮宇宙是全人类的共同梦想，我国广大科技工作者、航天工作者为推动世界航天事业发展付出了艰辛的努力，为人类和平利用太空、推动构建人类命运共同体贡献了中国智慧、中国方案、中国力量．
（1）为助力我国航空事业，某公司试生产一种航空零件，在生产过程中，当每小时次品数超过90件时，产品的次品率会大幅度增加．为检测公司的试生产能力，同时尽可能控制不合格品总量，抽取几组一小时生产的产品数据进行次品情况检查分析，已知在x（单位：百件）件产品中，得到次品数量y（单位：件）的情况汇总如表所示，且y（单位：件）与x（单位：百件）线性相关：

x（百件）	5	20	35	40	50
y（件）	2	14	24	35	40

请根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程：根据公司规定，在一小时内不允许次品数超过90件，请判断可否安排一小时试生产10000件产品的任务？
（2）“战神”太空空间站工作人员需走出太空站完成某项试验任务，一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为P₁，P₂，P₃，假设P₁，P₂，P₃互不相等，且假定各人能否完成任务相互独立．
①如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序拟任，求任务能完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
②假定1＞P₁＞P₂＞P₃，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的数学期望达到最小．
（参考公式：用最小二乘法求线性回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

的系数公式，

̂

b

=

n

i=1

xiyi-n

x

•

y

n

i=1

xi2-n

x

2

=

n

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)

n

i=1

(xi-

x

)2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．）
（参考数据：

5

i=1

xiyi=5×2+20×14+35×24+40×35+50×40=4530，

5

i=1

x

2

i

=52+202+352+402+502=5750．）

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•南通模拟）网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇款．根据2019年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和微信社群等平台进行购物．某天猫专营店统计了2020年8月5日至9日这5天到该专营店购物的人数y和时间第x天间的数据，列表如表：

x_i	1	2	3	4	5
y_i	75	84	93	98	100

（1）由表中给出的数据是否可用线性回归模型拟合人数y与时间x之间的关系？若可用，估计8月10日到该专营店购物的人数（人数用四舍五入法取整数；若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合，计算r时精确到0.01）．
参考数据：

4340

≈65.88．
附：相关系数r=

n

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)

n

i=1

(xi-

x

)2

n

i=1

(yi-

y

)2

，回归直线方程的斜率：

̂

b

=

n

i=1

(xi-

x

)(yi-

y

)

n

i=1

(xi-

x

)2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

．
（2）运用分层抽样的方法从第1天和第5天到该专营店购物的人中随机抽取7人，再从这7人中任取3人进行奖励，求这3人取自不同天的概率；
（3）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：
方案一，购物金额每满100元可减10元；
方案二，一次性购物金额超过800元可抽奖三次，每次中奖的概率均为

1

3

，且每次抽奖互不影响，中奖一次打9折，中奖两次打8折，中奖三次打6折．
某顾客计划在此专营店购买1000元的商品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•兰州一模）某校高二生物研究性学习小组的同学们为了研究当地某种昆虫的产卵数与温度的变化关系，他们收集了一只该种昆虫在温度x℃时相对应产卵数个数为y的8组数据，为了对数据进行分析，他们绘制了如图散点图：
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（Ⅰ）根据散点图，甲、乙两位同学分别用y=bx+a和z=dx+c（其中z=lny）两种模型进行回归分析，试判断这两位同学得到的回归方程中，哪一个的相关指数R²更接近1；（给出判断即可，不必说明理由）
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论选定上述两个模型中更适宜作为对昆虫产卵数与温度变化关系进行回归分析的模型，并利用如表中数据，计算该模型的回归方程；（方程表示为y=f（x）的形式，数据计算结果保留两位小数）

x

y

z

8

i=1

xiyi

8

i=1

xizi

8

i=1

x

2

i

26

72

3.3

11871

757

5722

（Ⅲ）据测算，若一只此种昆虫的产卵数超过e⁴，则会发生虫害．研究性学习小组的同学通过查阅气象资料得知近期当地温度维持在25℃左右，试利用（Ⅱ）中的回归方程预测，近期当地是否会发生虫害．
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线

̂

v

=

̂

α

+

̂

β

u的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n

i=1

uivi-n

u

•

v

n

i=1

u

2

i

-n

u

2

，

̂

α

=

v

-

̂

β

u

．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•株洲模拟）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人．萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容．同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新．萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎．为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：
菁优网

产品的性能指数在[50，70）的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在[70，90）的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在[90，110]的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）．以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率．
（1）求每件产品的平均销售利润；
（2）该公司为了解年营销费用x（单位：万元）对年销售量y（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用x_i，和年销售量y_i（i=1，2，3，4，5）数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值．

5

i=1

ui

5

i=1

υi

5

i=1

(ui-

u

)(υi-

υ

)

5

i=1

(ui-

u

)2

16.30

24.87

0.41

1.64

表中u_i=lnx_i，υ_i=lny_i，

u

=

1

5

i=1

ui，

υ

=

1

5

i=1

υi．
根据散点图判断，y=a•x^b可以作为年销售量y（万件）关于年营销费用x（万元）的回归方程．
（i）建立y关于x的回归方程；
（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？
（收益=销售利润-营销费用，取e^4.159=64）．
参考公式：对于一组数据（u₁，υ₁），（u₂，υ₂），…，（u_n，υ_n），其回归直线υ=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为

̂

β

=

n

i=1

(ui-

u

)(υi-

υ

)

n

i=1

(ui-

u

)2

，

̂

α

=

υ

-

̂

β

u

．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•全国模拟）某公司为了确定下一年度投入某种产品的宣传费用，需了解年宣传费x（单位：万元）对年销量y（单位：吨）和年利润（单位：万元）的影响．对近6年宣传费x_i和年销量y_i（i=1，2，3，4，5，6）的数据做了初步统计，得到如下数据：

年份	2013	2014	2015	2016	2017	2018
年宣传费x（万元）	38	48	58	68	78	88
年销售量y（吨）	16.8	18.8	20.7	22.4	24.0	25.5

经电脑模拟，发现年宣传费x（万元）与年销售量y（吨）之间近似满足关系式y=a•x^b（a，b＞0）即lny=blnx+lna，对上述数据作了初步处理，得到相关的值如下表：

6

i=1

(lnxi•lnyi)

6

i=1

(lnxi)

6

i=1

(lnyi)

6

i=1

(lnxi)2

75.3

24.6

18.3

101.4

（Ⅰ）从表中所给出的6年年销售量数据中任选2年做年销售量的调研，求所选数据中至多有一年年销售量低于20吨的概率．
（Ⅱ）根据所给数据，求y关于x的回归方程；
（Ⅲ）若生产该产品的固定成本为200（万元），且每生产1（吨）产品的生产成本为20（万元）（总成本=固定成本+生产成本+年宣传费），销售收入为R（x）=-x+（40+20e）

x

+500（万元），假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），则2019年该公司应该投入多少宣传费才能使利润最大？（其中e=2.71828…）
附：对于一组数据（u₁，v₁），（u₂，v₂），…，（u_n，v_n），其回归直线v=β•u+α中的斜率和截距的最小二乘估计分别为β=

n

i=1

uivi-n

u

v

n

i=1

u

2

i

-n

u

2

，α=

v

-β•

u

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.40

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（2021•3月份模拟）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：

月份	2017.11	2017.12	2018.01	2018.02	2018.03
月份编号t	1	2	3	4	5
竞拍人数y（万人）	0.5	0.6	1	1.4	1.7

（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：

̂

y

=

̂

b

t+

̂

a

，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；
（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：

报价区间（万元）	[1，2）	[2，3）	[3，4）	[4，5）	[5，6）	[6，7]
频数	20	60	60	30	20	10

（i）求这200位竞拍人员报价X的平均值

x

和样本方差s²（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；
（ii）假设所有参与竞价人员的报价X可视为服从正态分布N（μ，σ²），且μ与σ²可分别由（i）中所求的样本平均数

x

及s²估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价．
参考公式及数据：①回归方程

̂

y

=

̂

b

x+

̂

a

，其中

̂

b

=

n

i=1

xiyi-n

x

y

n

i=1

x

2

i

-n

x

2

，

̂

a

=

y

-

̂

b

x

；
②

5

i=1

ti2=55，

5

i=1

tiyi=18.8，

1.7

≈1.3；
③若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ²），则P（μ-σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜Z＜μ+3σ）=0.9974．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.30

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（2021•黄山一模）某厂生产不同规格的一种产品，根据检测标准，其合格产品的质量y（g）与尺寸x（mm）之间近似满足关系式y=c•x^b（b、c为大于0的常数）．按照某项指标测定，当产品质量与尺寸的比在区间(

e

9

，

e

7

)内时为优等品．现随机抽取6件合格产品，测得数据如下：

尺寸x（mm）

38

48

58

68

78

88

质量y（g）

16.8

18.8

20.7

22.4

24

25.5

质量与尺寸的比

y

x

0.442

0.392

0.357

0.329

0.308

0.290

（1）现从抽取的6件合格产品中再任选3件，记ξ为取到优等品的件数，试求随机变量ξ的分布列和期望；
（2）根据测得数据作了初步处理，得相关统计量的值如下表：

6

i=1

(lnxi•lnyi)

6

i=1

(lnxi)

6

i=1

(lnyi)

6

i=1

(lnxi)2

75.3

24.6

18.3

101.4

（i）根据所给统计量，求y关于x的回归方程；
（ii）已知优等品的收益z（单位：千元）与x，y的关系为z=2y-0.32x，则当优等品的尺寸x为何值时，收益z的预报值最大？
附：对于样本（v_i，u_i）（i=1，2，…，n），其回归直线u=b•v+a的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

b

=

n

i=1

(vi-

v

)(ui-

u

)

n

i=1

(vi-

v

)2

=

n

i=1

viui-n

v

u

n

i=1

vi2-n

v

2

，

a

=

u

-

b

v

，e≈2.7182．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.30

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（2021•凉州区校级模拟）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg），其频率分布直方图如下：
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（1）估计旧养殖法的箱产量低于50kg的概率并估计新养殖法的箱产量的平均值；
（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

	箱产量＜50kg	箱产量≥50kg	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

附：K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d

P（K²≥k）	0.050	0.010	0.001
k	3.841	6.635	10.828

参考数据：28²÷9984≈0.078525．

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.10

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（2021•长春模拟）近年来我国电子商务行业迎来篷勃发展的新机遇，2016年双11期间，某购物平台的销售业绩高达一千多亿人民币．与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系．现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.75，其中对商品和服务都做出好评的交易为80次．
（Ⅰ）请完成如下列联表；

	对服务好评	对服务不满意	合计
对商品好评
对商品不满意
合计

（Ⅱ）是否可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评与服务好评有关？
（Ⅲ）若针对商品的好评率，采用分层抽样的方式从这200次交易中取出5次交易，并从中选择两次交易进行客户回访，求只有一次好评的概率．

P（K²≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

K2=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d）

更新：2021/07/09 组卷：0 难度：0.10

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人教B版：高一上